爱腐书 > 虐心耽美 > 武圣之冠 > 数的认识 续2

质数又称素数。一个大于1的自然数,如果除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数;否则称为合数。根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。关于质数有很多历史悠久的世界级的难题,如哥德巴赫猜想,黎曼猜想,孪生素数猜想等。素数有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除(除0以外)的数称之为素数(质数);否则称为合数。根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

基本信息

中文名:质数

别名:素数

外文名:priber

例子:2、3、5、7

质数个数

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质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p,p,……,p,设n=pxpx……xp,那么,n+1是素数或者不是素数。

如果n+1为素数,则n+1要大于p,p,……,p,所以它不在那些假设的素数集合中。

如果n+1为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而n和n+1的最大公约数是1,所以n+1不可能被p,p,……,p整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的,恩斯特·库默的证明更为简洁,则用拓扑学加以证明。

对于一定范围内的素数数目的计算

尽管整个素数是无穷的,仍然有人会问“100,000以下有多少个素数?”,“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。

相关定理

在一个大于1的数a和它的2倍之间(即区间(a,2a]中)必存在至少一个素数。

存在任意长度的素数等差数列。(格林和陶哲轩,2004年)

一个偶数可以写成两个质数之和,其中每一个数字都最多只有9个质因数。(挪威数学家布朗,1920年)

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数,其中的因子个数有上界。(瑞尼,1948年)

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来,有人简称这结果为(1+5)(中国潘承洞,1968年)

一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为(1+2)(中国陈景润)

判定

基本判断思路

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在一般领域,对正整数n,如果用2到之间的所有整数去除,均无法整除,则n为质数。

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素性检测

素性检测一般用于数学或者加密学领域。用一定的算法来确定输入数是否是素数。不同于整数分解,素性测试一般不能得到输入数的素数因子,只说明输入数是否是素数。大整数的分解是一个计算难题,而素性测试是相对更为容易(其运行时间是输入数字大小的多项式关系)。有的素性测试证明输入数字是素数,而其他测试,比如米勒-拉宾(miller–rabin)则是证明一个数字是合数。因此,后者可以称为合性测试。

素性测试通常是概率测试(不能给出100%正确结果)。这些测试使用除输入数之外,从一些样本空间随机出去的数;通常,随机素性测试绝不会把素数误判为合数,但它有可能为把一个合数误判为素数。误差的概率可通过多次重复试验几个独立值a而减小;对于两种常用的测试中,对任何合数n,至少一半的a检测n的合性,所以k的重复可以减小误差概率最多到2^{-k},可以通过增加k来使得误差尽量小。

随机素性测试的基本结构:

1.随机选取一个数字a。

2.检测某个包含a和输入n的等式(与所使用的测试方法有关)。如果等式不成立,则n是合数,a作为n是合数的证据,测试完成。

3.从1步骤重复整个过程直到达到所设定的精确程度。

在几次或多次测试之后,如果n没有被判断为合数,那么我们可以说n可能是素数。

常见的检测算法:费马素性检验(fer),米勒拉宾测试(erara),卢卡斯-莱默检验法(英语:luca)。

著名难题

哥德巴赫猜想

在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定,原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数想陈述为欧拉的版本。把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和“记作“a


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